Analysis 1 by Stefan Hildebrandt

By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach artwork der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die research.

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Unter einer reellen Zahlenfolge {an } verstehen wir eine Abbildung N → R bzw. N0 → R. 7 Absolutbetrag. Nullfolgen. Intervallschachtelungen 35 1 Ist an := a f¨ ur alle n ∈ N, so erhalten wir die konstante Folge a, a, a, . . 2 F¨ ur an := (−1)n+1 , n ∈ N, entsteht die Folge 1, −1, 1, −1, . . 3 Die Vorschrift an := 1/n f¨ ur n ∈ N liefert die Folge 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . 4 F¨ ur an := an , n ∈ N entsteht die Folge der Potenzen a, a2 , a3 , . . 5 Eine Folge {an } kann auch rekursiv“ definiert sein wie etwa die Folge der ” Fibonaccizahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, .

Bemerkung 1. Der soeben betrachtete Beweis von Satz 1 ist ganz und gar nichtkonstruktiv , weil er uns nur die Existenz einer L¨osung x ≥ 0 der Gleichung x2 − c = 0 (mit c ≥ 0) liefert, aber keine Aussage macht, wie man diese L¨ osung findet und wie sie aussieht“. Insofern ist Satz 1 ein f¨ ur die Analysis ” typischer Existenzsatz , und es ist u berhaupt ein Merkmal der Analysis, daß sie ¨ bedenkenlos mit Objekten operiert, von denen sie nichts weiß als deren Existenz und einige Eigenschaften. Will man Genaueres erfahren, so m¨ ussen konstruktive Existenzbeweise erdacht werden.

Satz von Archimedes. Die Anzahlfunktion. Was sind die nat¨ urlichen Zahlen n = 1, 2, 3, . . in der Menge R der reellen Zahlen, die wir axiomatisch vorgegeben haben? Wir bilden sukzessive die Zahlen 1 , 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 , usw. , aber das und so weiter“ ist etwas vage und schwer zu fassen. Darum wollen ” wir die Menge der nat¨ urlichen Zahlen, N, auf die folgende, etwas merkw¨ urdig anmutende Art und Weise einf¨ uhren. Definition 1. Eine Teilmenge M von R heißt induktiv, wenn gilt: (i) 1 ∈ M .

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