Analysis 2 by Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

Der Autor hat die vorliegende 2. Auflage gr?ndlich ?berarbeitet und erweitert. Neu hinzugekommen sind die Kapitel "Vektorfelder und Differentialgleichungen", "Die Fundamentals?tze der Funktionentheorie" sowie "Differentialformen und der Integralsatz von Stokes". Das Buch unterscheidet sich von anderen Lehrb?chern der research durch die artwork der Einf?hrung des Lebesgue-Integrals, die Einbeziehung funktionentheoretischer Methoden und durch eine model des Gau?schen Integralsatzes, welche f?r Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen hinreichend allgemein ist. Das abschlie?ende Kapitel ?ber Differentialformen und den Integralsatz von Stokes ist als Einf?hrung in die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten konzipiert. Die pr?gnante Darstellung sowie zahlreiche Beispiele und ?bungsaufgaben machen dieses Buch zum idealen Vorlesungsbegleiter.

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IkE 1N}. ) sogar eine konstante Teilfolge. Sei die Menge A nun unendlich. chst, dai sie einen Hiiufungspunkt in X hat. Angenommen, das sei nicht der Fall. Dann hat jeder Punkt z E X eine offene Umgebung U(z), die nur endlich viele Punkte aus A enthiilt. Die Umgebungen U(z), z E X, bilden eine offene Oberdeckung von X. Als kompakter Raum wird X bereits von gewissen endlich vielen U(Zl)"'" U(zr) iiberdeckt. Somit enthalt auch A nur endlich viele Punkte. Widerspruch! Sei nun a E X ein Hiiufungspunkt von A.

Damit ergibt sich sofort das angegebene Kriterium. 4 Kompakte Riume Wichtige Aussagen der Analysis erhiilt man unter Umstanden bereits aufgrund der Kompaktheit der involvierten Riiume. In Band 1 haben wir Teilmengen von R als kompakt bezeichnet, wenn sie zugleich abgeschlossen und beschriinkt sind; dort haben wir auch gezeigt, dai diese Mengen gerade diejenigen sind, welche die Heine-Borelsche Uberdeckungseigenschaft besitzen. Bei der folgenden Verallgemeinerung definieren wir Kompaktheit durch die genannte Uberdeckungseigenschaft.

1st G ein Gebiet im 1R,n, n;::: 2, und V ein affiner Unterrawn des 1R,n einer DinIension ~ n - 2, so ist auch G \ Vein Gebiet. 16. Je zwei Punkte einer zusanImenhangenden offenen Menge U C 1R,n lassen sich durch eine stetig differenzierbare Kurve in U verbinden. 17. Fiir jede Matrix A E cnxn zeige man: a) 1st T E c nxn invertierbar, so gilt T- 1 . eA • T = eT - 1AT. b) dete A = eSpurA . 18. Es sei III eine Banacha1gebra mit Einselement 1. Man zeige: a) Sind G(z) = E~ Ckzk und F(z) = E~ akzk konvergente Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien Ra bzw.

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