Anfangswertprobleme bei Partiellen Differentialgleichungen by Robert Sauer

By Robert Sauer

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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1 eine vorgegebene Fläche I = I (x, y) und auf ihr eine MONGEsche Kurve. Dann bilden die Tangentenebenen der Fläche längs der MONGEschen Kurve einen Streifen (Berührstreifen), der im allgemeinen verschieden ist vom MONGEschen Streifen der vorliegenden MONGEschen Kurve; denn die MONGEschen Kegel werden im allgemeinen die Fläche I (x, y) schneiden. Wenn die Fläche jedoch Integralfläche ist, berührt sie die MONGEschen Kegel, und die Berührstreifen längs der auf ihr liegenden MONGEschen Kurven sind dann zugleich MONGEsche Streifen.

4 einen charakteristischen Streifen bilden, und es gibt dann unendlich viele Lösungen zu diesen Anfangsdaten. 1) rfJ = 0 liefert hier also keine Aussagen für die äußeren Ableitungen, sondern stellt eine "Verträglichkeitsbedingung" für die inneren Ableitungen dar. + § 9. Vollständige und singuläre Integrale. 1. Vollständige Integrale. 1) heißt vollständiges Integral, wenn in dem in Frage stehenden Bereich des x, y, I-Raumes jedes der Gl. 1) genügende Flächenelement (x, y, f, p, q) einer und nur einer Fläche der 2-parametrigen Schar angehört.

Aufl. Berlin: Springer 1951. § 6. HyperbolischeDifferentialgleichungen in der Gasdynamik undAkustik. 27 eine Größe a, die wir alsbald als Schallgeschwindigkeit (= Ausbreitungsgeschwindigkeit einer kleinen Störung) erkennen werden. Der Satz von der Erhaltung des Impulses liefert die Bewegungsgleichung db -dt = Ot + U Oa; + v Oy + W Oz = - a2 1 -(! gradp = - -(! 3) und der Satz von der Erhaltung der Masse die Kontinuitätsgleichung Qt + div(QtJ) = O. 4) Auf Grund von GI. 1) kann man ein Geschwindigkeitspotential z, t) mit 0 = grad cp einführen und erhält dann aus GI.

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